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2006年5月13日 (土)

半導体の確率統計1:代表的な分布1

どの事象がどの確率で出現するかを表した分布を確率分布と言いますが、確率分布には大まかに離散型確率分布連続型確率分布があります。

1)離散型確率分布

これは、例えば赤玉と白玉を混ぜた壷からある個数の玉を取り出したとき、その中に赤玉が二つ入っている確率はどのくらい?といった、事象が1,2,3・・・といった離散的な値をとるときの確率分布です。このとき、最もとる確率の高い値を期待値と呼びます。ある母集団からn個の試料を抜き取り、その中の事象の出現数がx1,x2・・・xkを取る確率をP1,P2,・・・Pkとすると、

期待値E(x)=∑xiPi=nP

と表されます。分布のばらつき具合を示す分散V(x)はV(x)=E[((x-E(x)^2]、標準偏差D(x)はD(x)=√V(x)と定義します。

離散分布で代表的な分布を2つ紹介します。

1-1)二項分布

2種類の可能な結果を生じる実験があるとして、一方の結果をAとしてその確率p、他方をBとしてその確率を1-pとします。これを同じ条件で独立にn回繰り返すことをします(ベルヌーイ試行)。Aがx回、Bがn-x回生じるとすると、その確率は次のような式に従います。

Bionominal_1 

この式に従う分布を二項分布(bionominal distribution)と呼び、Bi(n.p)で表します。その期待値、分散はそれぞれ、

E(x)=np、V(x)=np(1-p)となります。

これは、例えば上記の赤と白の玉が混ざった壷からn個の玉をとりだしてそのうち赤玉がx個出る確率とか、コインをn枚投げて、そのうち表がx個でる確率などが、この分布に従います。

1-2)ポアソン分布

二項分布のうち、nが大きくpが小さい場合、例えば、工場での事故件数や、製品のキズの数など、大量の試料の中でまれにしか起こらないような事象は、ポアソン分布(Poisson distribution)に従います。期待値としてmを持つ母集団の中で、x個の事象が存在する確率P(x)は、ポアソン分布に従って次のように表せます。

Poisson

ポアソン分布における期待値と分散は、E(x)=V(x)=mで、期待値と分散は等しくなります。

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